Question

已知數列{a_n}是等差數列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R），求數列{b_n}前n項和的公式．

Answer 1

分析：（1）本題是一個數列的基本量的運算，根據題目所給的首項和前連續三項的值，寫出關于公差的方程，解方程可得結果．
（2）構造一個新數列，觀察這個數列是有一個等差數列和一個等比數列的積構成的，這種結構要用錯位相減法求的結果，解題時注意等比數列的公比與1的關系，進行討論．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
則a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
又a₁=2，得d=2．
∴a_n=2n．
（2）當x=0時，b_n=0，S_n=0，
當x≠0時，令S_n=b₁+b₂+…+b_n，
則由b_n=a_nxⁿ=2nxⁿ，得
S_n=2x+4x²++（2n-2）x^n-1+2nxⁿ，①
xS_n=2x²+4x³++（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹．②
當x≠1時，①式減去②式，得
（1-x）S_n=2（x+x²++xⁿ）-2nxⁿ⁺¹
=

2x(1-xn)

1-x

-2nxⁿ⁺¹．
∴S_n=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

．
當x=1時，S_n=2+4++2n=n（n+1）．
綜上可得，當x=1時，S_n=n（n+1）；
當x≠1時，S_n=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

．

點評：數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用．一方面數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分；另一方面學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備．