Question

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．
（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點．求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓C的方程和其“準圓”方程，只要求出半徑即可，即分別求出橢圓方程中的a，b即得，這由題意不難求得；
（2）先分兩種情況討論：①當l₁，l₂中有一條無斜率時；②．②當l₁，l₂都有斜率時，第一種情形比較簡單，對于第二種情形，將與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x）+y，代入橢圓方程，消去去y得到一個關于x的二次方程，根據根的判別式等于0得到一個方程：（3-x²）t²+2xyt+（x²-3）=0，而直線l₁，l₂的斜率正好是這個方程的兩個根，從而證得l₁⊥l₂．
解答：解：（1）因為，所以b=1
所以橢圓的方程為，
準圓的方程為x²+y²=4．
（2）①當l₁，l₂中有一條無斜率時，不妨設l₁無斜率，
因為l₁與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，
當l₁方程為時，此時l₁與準圓交于點，
此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1（或y=-1），
即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為時，直線l₁，l₂垂直．
②當l₁，l₂都有斜率時，設點P（x，y），其中x²+y²=4，
設經過點P（x，y），與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x）+y，
則，消去y得到x²+3（tx+（y-tx））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y-tx）x+3（y-tx）²-3=0，△=[6t（y-tx）]²-4•（1+3t²）[3（y-tx）²-3]=0，
經過化簡得到：（3-x²）t²+2xyt+1-y²=0，因為x²+y²=4，所以有（3-x²）t²+2xyt+（x²-3）=0，
設l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以t₁，t₂滿足上述方程（3-x²）t²+2xyt+（x²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．