Question

定義在實數集上的函數f（x）滿足下列條件：
①f（x）是偶函數；②對任意非負實數x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③當x＞0時，恒有f(x)＞

1

2

．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）在[0，+∞）上是單調增函數；
（3）若f（3）=2，解關于a的不等式f（a²-2a-9）≤8．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值；
（2）設0≤x₁＜x₂，根據當x＞0時，恒有f(x)＞

1

2

及f（x）是偶函數，結合函數單調性的定義可判斷出f（x）在[0，+∞）上是單調增函數；
（3）令x=y=3，則f（6）=8，由（2）中函數的單調性，可將抽象不等式具體為|a²-2a-9|≤6，解絕對值不等式可得答案．

解答：解：（1）解：令x=0，y=1，
則f（1）=2f（0）•f（1），
∵f(1)＞

1

2

，
∴f(0)=

1

2

．…（4分）
（2）∵當x＞0時，恒有f(x)＞

1

2

，又f（x）是偶函數，
∴當x＜0時，f(x)=f(-x)＞

1

2

，
又f(0)=

1

2

，f（x）＞0恒成立．…（6分）
設0≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f(x2-x1)＞

1

2

，
∴f（x₂）=2f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），…（9分）
∴f（x）在[0，+∞）上是單調增函數．…（10分）
（3）令x=y=3，則f（6）=2f²（3）=8，…（12分）
∴f（a²-2a-9）=f（|a²-2a-9|）≤f（6），
由f（x）在[0，+∞）上是單調增函數，
得|a²-2a-9|≤6，…（14分）
即

a2-2a-9≥-6 a2-2a-9≤6

，
解得

a≤-1或a≥3 -3≤a≤5

，
∴-3≤a≤-1或3≤a≤5．…16 分

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的判斷與證明，函數單調性的性質，熟練掌握抽象函數“湊”的思想是解答的關鍵，本題難度中檔．