Question

（2013•松江區二模）在二項式(ax+

3

x

)6(a∈R)的展開式中，常數項的值是-20，則

lim

n→∞

(a+a2+a3+…+an)=

-

1

4

．

Answer 1

分析：先求出二項式的展開式的通項為T_r+1=

a6-r•3rC

r 6

x6-2r，令6-2r=0可求r，結合已知常數項的 值可求a，然后利用等比數列的和對已知式子求和，即可求解極限

解答：解：由題意二項式(ax+

3

x

)6(a∈R)的展開式的通項為T_r+1=

a6-r•3rC

r 6

x6-2r
令6-2r=0可得r=3
此時的常數項為T4=(3a)3

C

3 6

=-20，解得a=-

1

3

則

lim

n→∞

(a+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

- 1 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=-

1

4

故答案為：-

1

4

點評：本題主要考查了利用二項展開式的通項求解指定項，等比數列的求和公式的應用及數列極限的求解．