Question

橢圓C的中心為坐標原點O，點A₁，A₂分別是橢圓的左、右頂點，B為橢圓的上頂點，一個焦點為F（

3

，0），離心率為

3

2

．點M是橢圓C上在第一象限內的一個動點，直線A₁M與y軸交于點P，直線A₂M與y軸交于點Q．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若把直線MA₁，MA₂的斜率分別記作k₁，k₂，求證：k₁k₂=-

1

4

；
（III） 是否存在點M使|PB|=

1

2

|BQ|，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由焦點F可求得c值，由離心率可得a值，由b²=a²-c²即可求得b值；
（II）由（I）寫出A₁、點A₂的坐標，設動點M的坐標為（x₀，y₀），由題意可知0＜x₀＜2，y₀＞0，根據斜率公式可表示出k₁，k₂，進而表示出k₁k₂，再由點M在橢圓上，可消掉k₁k₂中的y₀，從而可證；
（III） 分別設直線MA₁的方程為y=k₁（x+2），直線MA₂的方程為y=k₂（x-2），易求點P、Q的坐標，由橢圓方程寫出B點坐標，從而PB|=

1

2

|BQ|可表示為k₁，k₂的方程，與k₁k₂=-

1

4

聯立可求得k₂，從而可求得直線MA₂的方程，進而可求得點M坐標，注意檢驗直線MA₂是否滿足條件；

解答：（I）解：由題意，可設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=

3

，

c

a

=

3

2

，
所以a=2，b²=a²-c²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（II）證明：由橢圓C的方程可知，點A₁的坐標為（-2，0），點A₂的坐標為（2，0），
設動點M的坐標為（x₀，y₀），由題意可知0＜x₀＜2，y₀＞0，
直線MA₁的斜率k1=

y0

x0+2

＞0，直線MA₂的斜率k2=

y0

x0-2

＜0，
所以k1k2=

y02

x02-4

，
因為點M（x₀，y₀）在橢圓

x2

4

+y2=1上，
所以

x02

4

+y02=1，即y02=1-

x02

4

，
所以k₁k₂=

1- x02 4

x02-4

=-

1

4

；
（III）設直線MA₁的方程為y=k₁（x+2），令x=0，得y=2k₁，所以點P的坐標為（0，2k₁），
設直線MA₂的方程為y=k₂（x-2），令x=0，得y=-2k₂，所以點Q的坐標為（0，-2k₂），
由橢圓方程可知，點B的坐標為（0，1），
由|PB|=

1

2

|BQ|，得|1-2k1|=

1

2

|-2k2-1|，
由題意，可得1-2k₁=

1

2

（-2k₂-1），
整理得4k₁-2k₂=3，與k₁k₂=-

1

4

聯立，消k₁可得2k22+3k₂+1=0，
解得k₂=-1或k2=-

1

2

，
所以直線MA₂的直線方程為y=-（x-2）或y=-

1

2

（x-2），
因為y=-

1

2

（x-2）與橢圓交于上頂點，不符合題意．
把y=-（x-2）代入橢圓方程，得5x²-16x+12=0，
解得x=

6

5

或2，
因為0＜x₀＜2，所以點M的坐標為（

6

5

，

4

5

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、直線斜率及橢圓方程的求解，考查學生對問題的探究能力解決問題的能力，綜合性較強，難度較大．