Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是.

（1）若橢圓C上一動點滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；

（2）在（1）的條件下，過點作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點的坐標；

（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程，伴隨圓方程；（2）；（3）存在，．

【解析】

試題（1）這是基本題，題設實質已知，要求橢圓標準方程，已知圓心及半徑求圓的方程；（2）為了求點坐標，我們可設直線方程為，直線與橢圓只有一個公共點，即直線的方程與橢圓的方程聯立方程組，這個方程組只有一個解，消元后利用可得的一個方程，又直線截圓所得弦長為，又得一個關于的方程，聯立可解得；（3）這是解析幾何中的存在性問題，解決方法都是假設存在，然后去求出這個，能求出就說明存在，不能求出就說明不存在．解法如下，寫出過點的直線方程，求出圓心到這條直線的距離為，可見當圓半徑不小于3時，圓上的點到這條直線的最短距離為0，即當時，，但由于，無解，當圓半徑小于3時，圓上的點到這條直線的最短距離為，由此得，又有，可解得，故存在．

（1）由題意：，則，所以橢圓的方程為，

其“伴隨圓”的方程為． 4分

（2）設直線的方程為

由得

則有得， ①

由直線截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為，可得

，得②

由①②得，又，故，所以點坐標為．

（3）過的直線的方程為：，

即，得

由于圓心到直線的距離為

，

當時，，但，所以，等式不能成立；

當時，，

由得所以

因為，所以，

得．所以