Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2

2

，在y軸上截得線段長為2

3

．
（1）求圓心P的軌跡方程；
（2）若P點到直線y=x的距離為

2

2

，①求圓P的方程；②若圓心P的縱坐標大于零，點M是直線l：x+y=5上的動點，MA，MB分別是圓P的兩條切線，A，B是切點，求四邊形MAPB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），圓的半徑為r，根據垂徑定理結合已知條件建立關于x、y、r的關系式，消去r化簡整理得到y²-x²=1，即為圓心P的軌跡方程；
（2）①由點到直線的距離公式，列式化簡得P的坐標滿足|x-y|=1，結合P的軌跡方程聯解得出P的坐標和半徑r值，即可得到圓P的方程；
②由題意，此時圓P方程為x²+（y-1）²=3．由圓的切線性質，得到S_MAPB=|PA|•|MA|=

3

|MA|，從而當|MA|最小時，四邊形MAPB的面積S_MAPB最小，再算出P到直線x+y-5=0距離，得出|MA|的最小值，進而可得四邊形MAPB面積的最小值．

解答：解：（1）設P（x，y），圓的半徑為r，由已知條件可得
∵圓P在x軸上截得線段長為2

2

，∴y2+(

2

)2=r²
同理可得：x2+(

3

)2=r²，
兩式消去r，得y2+(

2

)2=x2+(

3

)2，即y²+2=x²+3
化簡得：y²-x²=1，即為圓心P的軌跡方程；
（2）①∵圓心P（x，y）到x-y=0的距離d=

2

2

，
∴由點到直線的距離公式，得

|x-y|

2

=

2

2

，化簡得|x-y|=1
所以

y2=x2+1 x-y=1

或

y2=x2+1 x-y=-1

，解之得

x=0 y=-1 r2=3

或

x=0 y=1 r2=3

∴圓P的方程為：x²+（y+1）²=3或x²+（y-1）²=3
②由于縱坐標大于零，可得P（0，1），圓P方程為x²+（y-1）²=3
由圓的切線的性質，得S_MAPB=|PA|•|MA|=

3

|MA|
∴當|MA|最得小值時，四邊形MAPB的面積S_MAPB最小，
∵|MA|=

|MC|2-r2

=

|MC|2-3

，
P（0，1）到直線x+y-5=0距離為d=

|0+1-5|

2

=2

2

，等于|MC|的最小值
∴|MA|min=

|MC|min2-r2

=

5

，
由此可得四邊形MAPB的面積的最小值為S_MAPB=

3

|MA|_min=

15

．

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程，并依此討論四邊形面積的最小值．著重考查了圓錐曲線的簡單幾何性質、動點軌跡方程的求法和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．