Question

12、（1）以AB為直徑的半圓上，除A、B兩點外，另有6個點，又因為AB上另有4個點，共12個點，以這12個點為頂點共能組成多少個四邊形？
（2）在角A的一邊上有五個點（不含A），另一邊上有四個點（不含A），由這十個點（含A）可構成多少個三角形？
（3）設有等距離的3條平行線和另外等距離的4條平行線相交，試問以這些交點為頂點的三角形的個數是多少？

Answer 1

分析：（1）分類討論：A、B只含有一個點時，共有2（C³₆+C²₆C¹₄），既含A又含B時，共有C¹₆個，既不含A也不含B時，共有C⁴₁₀-1-C³₄C¹₆個，根據分類計數原理得到共有的個數．
（2）本題可以分類來解，當所取得三個點含A點時，可構成C¹₅C¹₄個三角形，當所取得三個點不含A點時，可構成C²₅C¹₄+C¹₅C²₄個三角形，根據分類計數原理得到結果．
（3）做出從12個點中取3個共有的結果，注意除了同一平行線上的點不能構成三角形以外，還要注意對角線上的點也不能構成三角形．用所有的結果減去不合題意的結果，得到共有C³₁₂-（C³₄×3+C³₃×4+4）個．

解答：解：（1）由題意知本題需要分類討論：A、B只含有一個點時，共有2（C³₆+C²₆C¹₄）=160個；
既含A又含B時，共有C¹₆=15個；
既不含A也不含B時，共有C⁴₁₀-1-C³₄C¹₆=185個．
∴共有160+15+185=360個．
（2）由題意知本題可以分類來解，
含A點時，可構成C¹₅C¹₄=20個三角形；
不含A點時，可構成C²₅C¹₄+C¹₅C²₄=70個三角形．
故共有20+70=90個三角形．
（3）首先做出從12個點中取3個共有的結果，
注意除了同一平行線上的點不能構成三角形以外，還要注意對角線上的點也不能構成三角形．
共有C³₁₂-（C³₄×3+C³₃×4+4）=200個．

點評：本題考查排列組合的實際應用，考查計數原理的應用，考查構成三角形的條件，是一個綜合題目，注意做題時做到不重不漏．