Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tan（A+B）=2．
（Ⅰ） 求sinC的值；
（Ⅱ） 當a=1，c=

5

時，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由于tan（A+B）=2 可得tan C=-2=

sinC

cosC

，從而求得sinC的值．
（Ⅱ）先由正弦定理及sinC=

2 5

5

 求得sin A的值，利用兩角和的正弦公式求得sin B=sin （A+C）的值，再由正弦定理可得b=

sinB

sinC

•c，運算求得結(jié)果．

解答：（Ⅰ） 解：在△ABC中，由于tan（A+B）=2 可得tanC=-2=

sinC

cosC

，從而求得sinC=

2 5

5

，cosC=-

5

5

．   …（6分）
（Ⅱ） 解：由正弦定理

a

sinA

 = 

c

sinC

及sinC=

2 5

5

 得sin A=

2

5

，
∴sin B=sin （A+C）=sin A cos C+sin C cos A
=

2

5

×(-

5

5

)+

2 5

5

×

21

5

=

2 5 ( 21 -1)

25

，
再由正弦定理可得b=

sinB

sinC

•c=

105 - 5

5

．     …（14分）

點評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和公式，兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．