Question

為迎接山東省第23屆運動會在濟寧召開，濟寧市加快了城市建設改造的步伐．在太白路升級改造工程中，欲在京杭大運河上新建一座跨河大橋，最兩端的兩橋墩相距m米．經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為工米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為（2+x）x萬元，假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記工程的總費用為：y萬元．
（I ）試寫出y關于工的函數關系式；
（II）當m=320米時，需建多少個橋墩才能使得工程總費用y最小，最小費用為多少萬元？

Answer 1

分析：（I）設出建n個橋墩，則求出橋墩數與相鄰兩橋墩之間距離x的關系，所有橋墩的工程費為256n，橋面工程費用
為（n-1）（2+x）x；兩項費用加起來為工程的總費用y
（II）將m的值代入y的解析式，化簡解析式；利用基本不等式求出最小值，檢驗等號何時取得．

解答：解：（I）設需建n個橋墩，則（n-1）x=m即n=

m

x

+1
所以y=f（x）=256n+（n-1）（2+x）x
=256(

m

x

+1)+

m

x

(2+x)x
=

256m

x

+mx+2m+256(0＜x＜m)
（II）由（I）知，y=m(

256

x

+x)+2m+256
≥32m+2m+256
=34m+256
=34×320+256=11136
當且僅當

256

x

=x即x=16時取等號，
所以f（x）在x=16時取得最小值．此時，n=

m

x

+1=

320

16

+1=21
故需要建21個橋墩才能使工程費用最小，最小費用為11136萬元．

點評：本題考查將實際問題轉化為數學問題的能力、考查利用基本不等式求函數的最值要注意滿足的條件：一正、二定、
三相等．