Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（

3

，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點）．求k的取值范圍．

Answer 1

（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=

3

，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）將y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠

1

3

且k2＜1．①
設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
則xA+xB=

6 2 k

1-3k2

，xAxB=

-9

1-3k2

，由

OA

•

OB

＞2得xAxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+

2

)(kxB+

2

)=(k2+1)xAxB+

2

k(xA+xB)+2=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，即

-3k2+9

3k2-1

＞0，解此不等式得

1

3

＜k2＜3．②
由①、②得

1

3

＜k2＜1．
故k的取值范圍為(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．