Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7份，請考生任選2題作答，滿分14分.

如果多做，則按所做的前兩題計分.

選修4系列（本小題滿分14分）

   （1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

設是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．

（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應的特征向量；

（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．

(2) （本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程

直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程，曲線C的參數方程為為參數），求曲線C截直線l所得的弦長

（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選講

已知，且、、是正數，求證：.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（Ⅰ）由條件得矩陣，

它的特征值為和，對應的特征向量為及；……………………3分

（Ⅱ），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．…………7分

 (2)解：由可化為直角坐標方程       （1）   ……2分

參數方程為為參數）可化為直角坐標方程     (2)    ……4分

聯立（1）（2）得兩曲線的交點為        ……………………6分

所求的弦長.        ………………7分

 

（3）證明：左邊=            ………………2分

    …………6分

.                         ………………7分