Question

如圖，平面EACF⊥平面ABC，△ABC為邊長為a的正三角形，四邊形ACFE為正方形，點M在線段EF上，點D為AC的中點．
（1）求證：BD⊥平面EACF；
（2）當M在線段EF的什么位置時，AM∥平面BDF，并證明你的結論；
（3）求平面EFB與平面ABC所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）證明線面垂直問題一般用線面垂直的判定定理，由題設條件及圖形知，可證明兩個平面垂直，再證明這條線在一個平面上且垂直于另一個平面．
（2）當點M為線段EF的中點時，AM∥平面BDF，下面要證明當M是中點時，結論成立，根據線面平行的判定定理得到結論．
（3）以D為原點，DA，DB，DM所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，寫出要用的點的坐標，構造向量，設出平面上的法向量，求出法向量，根據兩個向量所成的角的余弦值得到要求的結果．

解答：解：（1）證明：∵平面EACF⊥平面ABC，平面EACF∩平面ABC=AC
又∵AB=BC，點D為AC的中點，
∴BD⊥AC∴BD⊥平面EACF．
（2）當點M為線段EF的中點時，AM∥平面BDF．
證明如下：∵M為EF的中點，四邊形ACFE為正方形，
∴MF

∥ .

.

AD∴四邊形AMFC為平行四邊形．
∴AM∥DF∵AM?平面BDF，DF?平面BDF
∴AM∥平面BDF．
（3）以D為原點，DA，DB，DM所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），B（0，

3

2

a，0），M（0，0，a），E（

a

2

，0，a），F（-

a

2

，0，a），
所以

BE

=(

a

2

，-

3

2

a，a)，

BF

=(-

a

2

，-

3

2

a，a)，由于

DM

⊥平面ABC，所以

DM

可以做為平面ABC的法向量，設

n

=(x，y，z)是平面EFB的法向量，則由

n • BE =0 n • BF =0

?

a 2 x- 3 2 ay+az=0 - a 2 x- 3 2 ay+az=0

得

x- 3 y+2z=0 x+ 3 y-2z=0

，所以x=0，z=

3

2

y，令y=2，則

n

=(0，2，

3

)，
設平面EFB與平面ABC所成的銳二面角為θ
則cosθ=|

DM • n

| DM |•| n |

|=

3 a

a× 7

=

21

7

，
所以tanθ=

2 7

21

=

2 3

3

．

點評：本題考查空間中直線與平面之間的平行和垂直關系，用空間向量求解夾角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把理論的推導轉化成數字的運算，降低了題目的難度．