Question

已知函數f(x)=x3+ax2+bx+5，若x=

2

3

時，y=f(x)有極值，且曲線y=f（x）在點f（1）處的切線斜率為3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）=x³+ax²+bx+5的導函數，再由x=

2

3

時，y=f（x）有極值，列一方程，曲線y=f（x）在點f（1）處的切線斜率為3，列一方程，聯立兩方程即可得a、b值
（2）先求函數f（x）=x³+ax²+bx+5的導函數，再解不等式得函數的單調區間，最后列表列出端點值f（-4），f（1）及極值，通過比較求出y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b．
由題意，得

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(x)=3×12+2a×1+b=3.

解得

a=2 b=-4.

所以，f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）由（1）知f'（x）=x³+4x-4=（x+2）（3x-2）．
令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

．

x	-4	（-4，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)	1
f（x）		+	0	-	0	+
f（x）			極大值		極小值
函數值	-11		13		95 27		4

∴f（x）在[-4，1]上的最大值為13，最小值為-11．

點評：本題考查了導數在函數極值和函數最值中的應用，解題時要耐心細致，規范解題步驟，避免出錯．