Question

函數f（x）=

x

ax+b

（a，b是非零實常數），滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在實常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？為什么？
（3）在直角坐標系中，求定點A（-3，1）到此函數圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值．

Answer 1

（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

x

ax+b

=x的解，
所以

1

ax+b

=1無解或有解為0，（3分）
若無解，則ax+b=1無解，得a=0，矛盾，
若有解為0，則b=1，所以a=

1

2

． （6分）
（2）f（x）=

2x

x+2

，設存在常數m，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，則f（0）+f（m-0）=4，即

2m

m+2

=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4時，f（x）+f（-4-x）=

2x

x+2

+

2(-4-x)

-4-x+2

=…=4成立（充分性） （10分）
所以存在常數m=-4，使得對定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（

x-2

x+2

）²，設x+2=t，t≠0，（13分）
則|AP|²=（t+1）²+（

t-4

t

）²=t²+2t+2-

8

t

+

16

t2

=（t²+

16

t2

）+2（t-

4

t

）+2=（t-

4

t

）²+2（t-

4

t

）+10
=（ t-

4

t

+1）²+9，（16分）
所以當t-

4

t

+1=0時即t=

-1± 17

2

，也就是x=

-5± 17

2

時，
|AP|_min=3 （18分）