Question

在平面直角坐標系xOy中，已知動點P（x，y）（y≤0）到點F（0，-2）的距離為d₁，到x軸的距離為d₂，且d₁-d₂=2．
（Ⅰ）求點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l斜率為1且過點（1，0），其與軌跡E交于點M、N，求|MN|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可得：

PF

=(x，y+2)，根據|PF|-|y|=2  及 y≤0，得

x2+(y+2)2

-|y|=2，化簡可得動點P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）直線l的方程為：y=x-1，聯立

y=x-1 x2=-8y(y≤0)

，得x²+8x-8=0，由此利用橢圓弦長公式能求出|MN|的值．

解答： 解：（Ⅰ）：（Ⅰ）由題意得：

PF

=(x，y+2)，
根據|PF|-|y|=2  及 y≤0，得

x2+(y+2)2

-|y|=2，
化簡，整理得x²=-8y（y≤0）．
所求動點P的軌跡E的方程x²=-8y（y≤0）．
（Ⅱ）∵直線l斜率為1且過點（1，0），
∴直線l的方程為：y=x-1，
聯立

y=x-1 x2=-8y(y≤0)

，得x²+8x-8=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-8，x₁x₂=-8，
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

(-8)2-4(-8)

=8

3

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．