Question

（2013•浙江模擬）已知三個正整數2a，1，a²+3按某種順序排列成等差數列．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若等差數列{a_n}的首項和公差都為a，等比數列{b_n}的首項和公比都為a，數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞Sn-108，求滿足條件的正整數n的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a＞0，知a²+3=a²+1+2≥2a+2＞2a，由此結合題設條件能求出a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+（n-1）×2=2n，bn=2n，Sn=n(n+1)，Tn=2n+1-2，由此利用

Tn+2

2n

＞Sn-108，能求出n的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，∴a²+3=a²+1+2≥2a+2＞2a．…（2分）
①若三個數1，2a，a²+3依次成等差數列，
則有4a=a²+4解得a=2，符合題意；（4分）
②若三個數2a，1，a²+3依次成等差數列，
則有2=2a+a²+3解得a=-1，由a為正數不符合題意
∴a=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+（n-1）×2=2n，
bn=2n…（8分），
Sn=n(n+1)，Tn=2n+1-2…（10分）
∵

Tn+2

2n

＞Sn-108，
∴2＞n（n+1）-108，即n（n+1）＜110，…（11分）
故n的最大值為9．…（12分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，考查正整數n的最大值的求法．具體涉及到等差數列的性質、等比數列的性質、等價轉化思想的應用，解題時要認真審題，仔細解答．