Question

我們知道，在初中學過的許多平面幾何的定理在立體幾何中并不一定成立．下面給出四個平面幾何中的定理：①平行于同一條直線的兩條直線必平行；②垂直于同一條直線的兩條直線必平行；③兩條平行線中的一條直線與第三條直線相交，則另一條直線也與第三條直線相交；④兩條平行線中的一條直線與第三條直線垂直，則另一條直線也與第三條直線垂直．在立體幾何中，仍然成立的有

①④

（用序號作答）．

Answer 1

分析：根據平行公理，可得①是正確的；根據直線與平面垂直的定義，可以舉出反例說明②不正確；根據線面平行的位置關系，可以舉出反例說明③不正確；根據異面直線所成角的定義，結合兩直線垂直的定義，得到④正確．

解答：解：對于①，若a∥b且b∥c，則根據公理4有a∥c
因此，平行于同一條直線的兩條直線必平行，故①正確；
對于②，若直線l⊥平面α，直線a、b是α內相交的兩條直線
根據線面垂直的定義，得到直線a、b都與直線l垂直，
但直線a、b不平行，故②不正確；
對于③，在空間若直線l?平面α，直線m?平面α，且直線l∥m，
則直線l∥平面α，在平面α內與直線m相交的直線n，與直線l就沒有公共點
直線n與平行線l、m中的一條相交，與另一條不相交，故③不正確；
對于④，設直線l、m互相垂直，說明它們的所成角為90°
若直線n與直線m平行，根據異面直線所成角的定義可得，
直線l、n所成角也為90°，說明直線l、n互相垂直，故④正確．
故答案為：①④

點評：本題以幾個在平面內正確的命題，能否推廣到空間為例，考查了空間直線與直線位置關系、直線與平面的位置關系等概念，屬于基礎題．