Question

如果若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則這些函數為“互為生成”函數，給出下列函數：
（1）f₁（x）=sinx+cosx；     （2）f₂（x）=

2

sinx+

2

；      （3）f₃（x）=sinx；
（4）f₄=

2

（sinx+cosx）；    （5）f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）．
其中“互為生成”函數有

（1）（2）（5）

．（把所有可能的函數的序號都填上）

Answer 1

分析：利用輔助角公式將（1）f₁（x）=sinx+cosx轉化為f₁（x）=

2

sin（x+

π

4

），f₄=

2

（sinx+cosx）轉化為：f₄=2sin（x+

π

4

），利用倍角公式與輔助角公式將f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）轉化為f₅（x）=sinx+1+cosx，再判斷即可．

解答：解：∵（1）f₁（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
（2）f₂（x）=

2

sinx+

2

=

2

（sinx+1），
（3）f₃（x）=sinx，
（4）f₄=

2

（sinx+cosx）=

2

•

2

sin（x+

π

4

）=2sin（x+

π

4

），
（5）f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）=sinx+1+cosx=

2

sin（x+

π

4

）+1，
∴f₁（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）右移

π

4

單位可以生成函數y=

2

sinx，
再將y=

2

sinx的圖象向上平移

2

單位可得f₂（x）=

2

sinx+

2

，
將f₁（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）向上平移1個單位可得y=

2

sin（x+

π

4

）+1，即f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）=sinx+1+cosx，
∴“互為生成”函數的有（1）（2）（5）．
故答案為：（1）（2）（5）．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查推理分析能力，屬于難題．