Question

已知向量α，β，γ滿足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若對每一個確定的β，|γ|的最大值和最小值分別為m，n，則對任意β，m－n的最小值是(　　)

A．

B．1

C．2

D．

Answer 1

A

方法一，設α＝(1，0)，β＝，γ＝(x，y)，由(α－γ)·(β－γ)＝0，得(x－1，y)＝0，即x²－x＋＋y²－ty＝0，配方得.|γ|的幾何意義是圓上的點到坐標原點的距離，其最大值為圓心到坐標原點的距離加圓的半徑，最小值為圓心到坐標原點的距離減去圓的半徑，最大值與最小值之差為圓的直徑，故m－n＝2 ≥，當且僅當t＝0時等號成立，此時β＝.
方法二，將向量α，β，γ的起點放在點O，終點分別記作A，B，C.由|α－β|＝|β|可知點B在OA的垂直平分線上．根據(α－γ)·(β－γ)＝0知點C在以AB為直徑的圓上，則m－n為圓的直徑．又因為OB＝AB，故只要OB最小即得，結合圖形，在點B為OA的中點時取得，即m－n的最小值為.