Question

設兩個非零向量

e

₁與

e

₂不共線
①如果

AB

=

e

₁+

e

₂，

BC

=2

e

₁+8

e

₂，

CD

=3（

e

₁-

e

₂）求證：A、B、D三點共線．
②試確定實數k的值，使k

e

₁+

e

₂和

e

₁+k

e

₂共線．

Answer 1

分析：①只要證明存在實數λ使得

AB

=λ

BD

成立即可；
②利用向量共線的充要條件和兩個非零向量

e1

與

e2

不共線即可求出．

解答：解：①證明：∵

BD

=

BC

+

CD

=5(

e1

+

e2

)，而

AB

=

e1

+

e2

，∴

BD

=5

AB

，∴A、B、D三點共線；
②若k

e1

+

e2

與

e1

+k

e2

共線，則存在實數λ使得k

e1

+

e2

=λ(

e1

+k

e2

)成立，
∴(k-λ)

e1

+(1-λk)

e2

=

0

，
∵兩個非零向量

e1

與

e2

不共線，∴

k-λ=0 1-λk=0

，解得k=±1．

點評：熟練掌握向量共線的充要條件和兩個非零向量

e1

與

e2

不共線的條件是解題的關鍵．