Question

已知直線l₁：y=x和直線l₂：y=-x，動點M到x軸的距離小于到y軸的距離，且M到l₁，l₂的距離之積為常數4．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）過點N（3，0）的直線L與曲線C交與P、Q，若

PN

=2

NQ

，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）利用動點M到x軸的距離小于到y軸的距離，且M到l₁，l₂的距離之積為常數4，可得方程

|x-y|

2

•

|x+y|

2

=4且|x|＞|y|，化簡即可得；
（2）將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達定理及

PN

=2

NQ

，即可求直線方程．

解答：解：（1）由題意

|x-y|

2

•

|x+y|

2

=4且|x|＞|y|，
∴x²-y²=8   …（5分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易知直線傾斜角不為0，可設直線L方程為 x=ty+3
代入雙曲線方程得：（t²-1）y²+6ty+1=0，△＞0
y1+y2=

-6t

t2-1

，y1y2=

1

t2-1

             （1）
又

PN

=2

NQ

  則y₁=-2y₂               （2）
聯立（1）（2）得：t=±

1

73

所以直線L方程為：

73

x±y-

73

=0                …（12分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的關系，主要軌跡方程的求解，考查直線與雙曲線的位置關系，關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解．