Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）由正方體的性質，證出四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，可得B₁D₁∥BD，利用線面平行判定定理即可證出B₁D₁∥平面BC₁D；
（II）連結AC交BD于O，連結C₁O，由正方體的性質結合線面垂直的判定與性質，證出BD⊥平面AA₁C₁C，從而∠C0C₁就是二面角C₁-BD-C的平面角，RtC0C₁中利用三角函數的定義，即可算出即二面角C₁-BD-C的正切值等于

2

．

解答：解：（I）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，可得B₁D₁∥BD
∵B₁D₁?平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴B₁D₁∥平面BC₁D；
（II）連結AC，交BD于O，連結C₁O
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，CC₁∩AC=C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
結合C₁O?平面AA₁C₁C，得BD⊥C₁O
因此∠C0C₁就是二面角C₁-BD-C的平面角
設正方體的棱長為1，
則RtC0C₁中，CC₁=1，C0=

2

2

∴tan∠C0C₁=

CC1

CO

=

2

，即二面角C₁-BD-C的正切值等于

2

．

點評：本題在正方體中證明線面平行，并求二面角的大小．著重考查了正方體的性質、線面平行判定定理和線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．