Question

若一動點M與定直線l：x=

16

5

及定點A（5，0）的距離比是4：5．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設所求軌跡C上有點P與兩定點A和B（-5，0）的連線互相垂直，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）欲求軌跡C的方程，設動點M（x，y），充分利用題設條件轉化為坐標表示即可；
（2）利用（1）中結論，利用雙曲線的定義結合垂直條件得到的直角三角形，即可求得|PA|•|PB|的值．

解答：解：（1）設動點M（x，y），
根據題意得

|x- 16 5 |

(x-5)2+y2

=

4

5

，
化簡得9x²-16y²=144，
即

x2

16

-

y2

9

=1．
（2）由（1）知軌跡C為雙曲線，A、B即為C的兩個焦點，
∴|PA|-|PB|=±8．①
又PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=100．②
由②-①²得|PA|•|PB|=18．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．