Question

（2012•黃州區模擬）三角形的內角平分線定理是這樣敘述的：三角形一個內角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．已知在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點D，設AB=3，且

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

（λ∈R），則AD的長為（　　）

• A．2

  3

• B．

  3

• C．1
• D．3

Answer 1

分析：作DG∥AB，DH∥AC，證明△ADH≌△ADG，可得AG=DH=

1

3

AC，根據△BDH∽△BCA，可得BH=

1

3

BA=1，從而HA=HD=2，根據等腰三角形知識可求AD的長．

解答：解：如圖，作DG∥AB，DH∥AC，則向量

AD

=

AH

 + 

AG

，
∴

AG

=

1

3

AC

．
因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC=30°．
因為DG∥AB，所以∠ADH=30°=∠DAH，所以AH=DH，同理，AG=DG．
∴△ADH≌△ADG，∴AG=DH=

1

3

AC．
又因為△BDH∽△BCA，所以BH=

1

3

BA=1，所以HA=HD=2，
根據等腰三角形知識可知AD=2

3

，
故選A．

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角形的全等與相似，屬于中檔題．