Question

已知函數f（x）=x，g（x）=3-x²．
（1）求函數F（x）=f（x）g（x）的極值；
（2）設m是負實數，求函數H（x）=f（x）g（x）-m的零點的個數；
（3）如果存在正實數a，b，c，使得f（a）g（b）=f（b）g（c）=f（c）g（a）＞0，試證明a=b=c．

Answer 1

分析：（1）通過求解函數F（x）的導數，確定出函數的單調區間是解決本題的關鍵，注意一元二次不等式解法的運用；
（2）將函數的零點個數問題轉化為函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵，進而轉化為函數的極值問題，通過相應函數的極值與m的關系列出關于m的不等式達到解決本題的目的；
（3）將該等式進行轉化與化歸是解決本體的關鍵，注意反證法在解決本題中的作用．

解答：解：（1）F（x）=3x-x³．F'（x）=3-3x²．
令F'（x）=0，得x=±1．
當x＜-1時，F'（x）＜0；當-1＜x＜1時，F'（x）＞0；當x＞1時，F'（x）＜0，故F（-1）的極小值為-2，F（1）為極大值為2．
（2）函數H（x）零點個數即為函數y=f（x）g（x）的圖象與函數y=m的圖象的交點個數．
由（1）的結論可知，當m＜-2時，直線y=m在函數極小值點的下方，兩圖象只有一個公共點，故函數H（x）只有一個零點；
當m=-2時，直線y=m恰好經過函數的極小值點，兩圖象有兩個公共點，故函數H（x）有兩個零點；
當-2＜m＜0時，函數H（x）有三個零點．
（3）題設也就是a（3-b²）=b（3-c²）=c（3-a²）＞0，且a，b，c＞0．
∴a，b，c均小于

3

．
反設在a，b，c中有兩個量不相等，不妨設a≠b，則a＞b或a＜b．
若a＞b，則由a（3-b²）=b（3-c²）知，3-b²＜3-c²，b²＞c²，b＞c．此時又由b（3-c²）=c（3-a²）得c＞a．于是a＞b＞c＞a，矛盾．同理，若a＜b，也必導出矛盾．
故a=b=c．

點評：本題考查函數的導數在解決問題中的工具作用，考查學生的轉化與化歸的思想和方法，考查學生不等式的工具思想和反證法的解題意識．