Question

已知O是△ABC內任意一點，連接AO，BO，CO并延長交對邊于A′，B′，C′，則

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

=1，這是平面幾何中的一個命題，其證明方法常采用“面積法”：

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

=

S△OBC

S△ABC

+

S△OCA

S△ABC

+

S△OAB

S△ABC

=

S△ABC

S△ABC

=1．運用類比猜想，對于空間四面體存在什么類似的命題？并用“體積法”證明．

Answer 1

分析：先根據所給的定理寫出猜想的定理，把面積類比成體積，把面積之和等于1，寫成體積之和等于1，再進行證明．

解答：解：猜想：若O四面體ABCD內任意點，AO，BO，CO，DO并延長交對面于A′，B′，C′，D′，則

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

+

OD/

DD/

=1．
用“體積法”證明如下：

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

+

OD/

DD/

=

VO-BCD

VA-BCD

+

VO-CAD

VB-CDA

+

VO-ABD

VC-ABD

+

VO-ABC

VD-ABC

=

VABCD

VABCD

=1

點評：本題考查類比推理，是一個基礎題，這種題目的解題的關鍵是要根據所給的定理類比出可能的定理，后面再進行證明．