Question

17、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：CD⊥PD；
（2）求證：EF∥平面PAD、

Answer 1

分析：本題是高考的重要內容，幾乎年年考，次次有：（1）的關鍵是找出直角三角形，也就是找出圖中的線線垂直．（2）的關鍵是找出平面PAD中可能與EF平行的直線．

解答：解：（1）證明：
∵PA⊥平面ABCD，而CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD、
（2）取CD的中點G，連接EG、FG．
∵E、F分別是AB、PC的中點，
∴EG∥AD，FG∥PD，
∴平面EFG∥平面PAD，
又∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面PAD．

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．
判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a∥α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）．