Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（Ⅰ）證明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：以點A為原點建立空間直角坐標系，如圖，依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
則 ，
而 =0．
所以B1C1⊥CE；
（Ⅱ）解： ，
設平面B1CE的法向量為 ，
則 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以 ．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1 ， 所以B1C1⊥平面CEC1 ，
故 為平面CEC1的一個法向量，
于是 = ．
從而 = = ．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值為 ．
（Ⅲ）解： ，
設 0≤λ≤1，
有 ．
取 為平面ADD1A1的一個法向量，
設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，
則 =
= ．
于是 ．
解得 ．所以 ．
所以線段AM的長為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意可知，AD，AB，AA1兩兩互相垂直，以a為坐標原點建立空間直角坐標系，標出點的坐標后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數基本關系求出其正弦值，則二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共線向量基本定理把M的坐標用E和C1的坐標及待求系數λ表示，求出平面ADD1A1的一個法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，則線段AM的長可求．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．