Question

已知函數f（x）=2x（e^x-1）-x²（x∈R）．
（1）求證：函數f（x）有且只有兩個零點；
（2）已知函數y=g（x）的圖象與函數h（x）=-f（-x）-x²+x的圖象關于直線x=l對稱．證明：當x＞l時，h（x）＞g（x）；
（3）如果一條平行x軸的直線與函數y=h（x）的圖象相交于不同的兩點A和B，試判斷線段AB的中點C是否屬于集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：顯然0是函數f（x）的零點，令g（x）=2（e^x-1）-x，則g′（x）=2e^x-1
令g′（x）=0，則x=ln，∴函數在（-∞，ln）單調遞減，在（ln，+∞）上單調遞增
∵0是函數g（x）的零點，0∈（-∞，ln），g（ln）＜0
∴函數g（x）在（ln，+∞）上有一個零點
∴函數f（x）有且只有兩個零點；
（2）證明：函數y=g（x）上取點（x，y），則關于直線x=l對稱的點為（2-x，y），
∵函數h（x）=-f（-x）-x²+x=xe^-x，∴y=e^2-x，
令F（x）=h（x）-g（x）=xe^-x-e^2-x，則F′（x）=e^-x-xe^-x-e^2-x，
∴x＞1時，F′（x）＞0，∴F（x）＞F（1）=0，∴當x＞l時，h（x）＞g（x）；
（3）解：不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），
h′（x）=（1-x）e^-x，當h′（x）＞0，即x＞1時，h（x）為增函數；當h′（x）＜0，即x＜1時，h（x）為減函數，
∴函數在x=1處取得極大值
①若（x₁-1）（x₂-1）=0，由h（x₁）=h（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾；
②若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由h（x₁）=h（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾；
根據①②可得（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設x₁＜1，x₂＞1
由（2）可知h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），∴h（x₁）=h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），
∵x₂＞1，∴2-x₂＜1
∵x₁＜1，h（x）在（-∞，1）上為增函數
∴x₁＞2-x₂，∴x₁+x₂＞2，∴x＞1
∴線段AB的中點C不屬于集合M．
分析：（1）顯然0是函數f（x）的零點，令g（x）=2（e^x-1）-x，證明函數g（x）在（ln，+∞）上有一個零點即可；
（2）根據函數y=g（x）的圖象與函數h（x）=-f（-x）-x²+x的圖象關于直線x=l對稱，可得函數y=g（x）的解析式，構造F（x）=h（x）-g（x），確定單調性，即可得到結論；
（3）h′（x）=（1-x）e^-x，確定函數的單調性，可得函數在x=1處取得極大值，進而判斷（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設x₁＜1，x₂＞1，利用h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的零點，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，難度大．