Question

【題目】設橢圓C的方程為，O為坐標原點，A為橢團的上頂點，為其右焦點，D是線段的中點，且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過坐標原點且斜率為正數的直線交橢圓C于P，Q兩點，分別作軸，軸，垂足分別為E，F，連接，并延長交橢圓C于點M，N兩點.

（ⅰ）判斷的形狀；

（ⅱ）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）為直角三角形（ⅱ）

【解析】

（1）根據題意得到，在求出，得到橢圓標準方程；（2）（ⅰ）先設直線和的方程，分別與橢圓方程聯立，得到點的坐標，從而表示出直線的斜率，得到，從而做出判斷；（ⅱ）先得到四邊形面積是面積的2倍，利用弦長公式得到，，從而表示出的面積，再利用基本不等式得到其最大值，從而得到四邊形面積的最大值.

解：（1）設橢圓的半焦距為c.

由題意可得，D為的中點，

∴，

∴，∴，

∴橢圓的方程為.

（2）（1）設直線的方程為，且點P在第一象限，

聯立消去y得，

顯然，

∴，.

又∵軸，∴，

∴，

∴直線的方程為，

聯立消去y得，

，

∴.

∵，

∴，

，

∴，

∴，

即為直角三角形.

（ⅱ）根據圖形的對稱性可知，四邊形面積是面積的2倍，

由（ⅰ）知為直角三角形，且，

∴.

又

，

，

∴

.

令，∵，∴，

∴，而在上單調遞增，

所以，所以

即當時，最大，此時的面積也達到最大，

由對稱性可知，

故當時，最大，

.