Question

已知數列滿足遞推關系式：，.

（1）若，證明：（ⅰ）當時，有；（ⅱ）當時，有.

（2）若，證明：當時，有.

Answer 1

證明略

解析:

因為，故，即數列為遞增數列.

（1）（ⅰ）由及可求得，于是當時，，于是，即當時，.

                                                …………………………5分

（ⅱ）由于時，，所以時，.

由可得.

先用數學歸納法證明下面的不等式成立：   （）.

Ⅰ）當時，，結論成立.

Ⅱ）假設結論對成立，即，則結合（ⅰ）的結論可得

，即當時結論也成立.

綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.

因此，當時，，即.

又，，所以當時，有.

                                              …………………………10分

（2）由于，而數列為遞增數列，故當時，有.

由可得，而，于是

.

下面先證明：當時，有                        （*）

Ⅰ）根據及計算易得，

，而，

故，即當時，結論成立.

Ⅱ）假設結論對成立，即.

因為，而函數在時為增函數，所以

，

即當時結論也成立.

綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.

于是當時，，故，所以.

                                                …………………………20分