Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC₁存在點D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

把平面與平面垂直轉化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據相關判定定理轉化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（Ⅲ）題，求解有難度，可以空間向量完成.
（Ⅰ）因為為正方形，所以.
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，，且平面ABC平面AA₁C₁C，
所以⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB.
由題意知，所以.
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系,則.
設平面的法向量為，則即
令，則，所以.
同理可得，平面的法向量為.
所以.
由題知二面角A₁-BC₁-B₁為銳角，所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值為.

（Ⅲ）設是直線上的一點，且.
所以，解得，所以.
由，即，解得.
因為，所以在線段上存在點D，使得，此時.
【考點定位】本題考查了平面與平面垂直的性質定理，直線和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空間向量在立體幾何中的應用和二面角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力.