Question

設P是一個數集，且至少含有三個數，若對任意a，b∈P（a≠b）都有a+b，a-b、ab、

a

b

∈P （除數b≠0 ），則稱P是一個數域．
例如：有理數集Q 是數域，實數集R也是數域．
（1）求證：整數集Z不是數域；
（2）求證：數域必含有0，1兩個數；
（3）若有理數集Q⊆M，那么數集M 是否一定為數域？說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的主要知識點是新定義概念的理解能力．我們可根據已知中對數域的定義：設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除數b≠0）則稱P是一個數域，對3個命題逐一進行判斷證明即可．

解答：證明：（1）若整數集Z是數域，…（1分）
則由1∈Z，2∈Z，得

1

2

∈Z，…（3分）
與

1

2

∉ Z矛盾．                    …（4分）
故整數集Z是數域不可能，即整數集Z不是數域   …（5分）
（2）設P是一個數域，a，b∈P，a≠b，ab≠0
則(a+b)∈P ， 

a+b

b

∈P ， 

a

b

∈P 

所以

a+b

b

-

a

b

=1∈P …（8分）
同理可得，

a

b

-

a+b

b

=-1∈P …（9分）
所以-1+1=0∈P                   …（10分）
故數域必含有0，1兩個數
（3）數集M 
不一定為數域．                        …（11分）
例如：①若M=R，則Q⊆M，且M 是數域；      …（12分）
②若M={x|x∈Q，或x=

2

 }則Q⊆M，但M 不是數域；…（13分）
假設M是數域，則由-1∈M，

2

∈M，得-1×

2

=-

2

∈M 

所以-

2

∈Q 與-

2

∉Q 矛盾!…（15分）
綜上所述：數集M 不一定為數域．             …（16分）

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的3個命題代入進行檢驗，要滿足對四種運算的封閉，只有一個個來檢驗，如（1）對除法如

1

2

∉Z不滿足，所以排除．