Question

經過拋物線y²=2p（x+2p）（p＞0）的頂點A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點，求線段BC的中點M軌跡方程．

Answer 1

分析：利用參數法求解，設直線AB的斜率為k，用k來表示線段BC的中點M的坐標，消去參數k即可得線段BC的中點M軌跡方程．

解答：解：A（-2p，0），
設直線AB的方程為y=k（x+2p）（k≠0）．
與拋物線方程聯立方程組可解得B點的坐標為（

2p

k2

-2p，

2p

k

），
由于AC與AB垂直，則AC的方程為y=-

1

k

（x+2p），
與拋物線方程聯立方程組可解得C點的坐標為（2k²p-2p，-2kp），
又M為BC中點，設M（x，y），
則

x= p k2 +k2p-2p y= p k -kp

，
消去k得y²=px，即點M的軌跡是拋物線．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，參數法是指，若動點的坐標（x，y）中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數，建立軌跡的參數方程．