Question

如圖，是拋物線的焦點，為準線與軸的交點，直線經過點．

（Ⅰ）直線與拋物線有唯一公共點，求的方程；

（Ⅱ）直線與拋物線交于、兩點記、的斜率分別為，．

（1）求證：為定值；　

（2）若點在線段上，且滿足

，求點的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

為定值．，軌跡方程為.

【解析】解：由已知得，顯然直線的斜率存在。設直線的斜率為，則的方程為

，代入拋物線方程得

⑴ 若，令，此時的方程為

即或。若，方程有唯一解，此時的方程為．

綜上，所求直線的方程為：或或．

⑵ 顯然，記，則   

，  

①

∵  ∴  即為定值．

②設動點，∵，        ∴ 

         ∴

令且

∴     ∴ 

綜上，點的軌跡方程為.