Question

【題目】已知動圓與圓：，圓都相內(nèi)切，即圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于，兩個不同的點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，.

【解析】

試題分析：（1）動圓與圓：，圓都相內(nèi)切，可得圓心的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，從而可求得曲線的方程；（2）設(shè)，，，直線：，則直線：，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理、弦長公式及兩點(diǎn)間距離公式可求得.

試題解析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為,

∴∴，

∴圓心的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，

∴，，，

故圓心的軌跡：．

（2）設(shè)，，，直線：，則直線：，

由可得∴

，

由可得，

∴，，

∴ ，

∴．

∴和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為．