Question

已知點A(－2，3)，B(3，2)，過點P(0，－2)的直線l與線段AB有公共點，求直線l的斜率的取值范圍及傾斜角的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　由題中條件“直線l與線段AB有公共點”展開聯想：①因為直線l過定點P(0，－2)與線段AB的公共點在AB上，可用運動變化的觀點，求出符合條件的所有直線的斜率；②從整體上考慮，由題中交點M在線段AB上的數學模型，聯想到M為的定比分點，考慮運用定比分點的知識解決問題． 　　解法一　　如上圖所示，直線PA的斜率kPA＝＝－，直線PB的斜率kPB＝＝，當直線l繞點P由PB按逆時針方向旋轉到與y軸的重合的位置時，直線l的斜率變化范圍是[，＋∞)，傾斜角的變化范圍是[arctan，]；當直線l繞點P由y軸按逆時針方向旋轉到PA的位置時，它的斜率的變化范圍是(－∞，－]，傾斜角的變化范圍是[，π－arctan]． 　　所以直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)，傾斜角的取值范圍是[arctan，π－arctan]． 　　解法二　　如上圖，設直線l與線段AB交于點M，則M是的內分點，令＝λ＞0． 　　由定比分點坐標公式得M(，)． 　　又直線l過點P(0，－2)，故l的斜率k＝＝，整理得λ＝． 　　當點M不與B點重合時，λ≥0，即≥0，解之得k＞或k≤－． 　　當點M與B重合時，λ不存在，可直接求出kBP＝． 　　以上同解法一． 　　評析　　(1)求直線傾斜角時，一要注意傾斜角的取值范圍，二要注意與之相關的三角函數及反三角函數的有關概念． 　　(2)對于過兩定點的直線的傾斜角問題，一般應先考慮斜率是否存在．這是隱含在題中的一個分類因素，很容易被忽視，應引起重視． 　　(3)數形結合是解析幾何中的重要思想，解題時，可根據問題的需要，借助圖形及圖形性質直觀作出判斷，明確解題思想，既能避免繁雜冗長的計算與推理，又能考證結論是否完善．