Question

已知函數(shù)(其中a,b為實常數(shù))。

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調區(qū)間：

（Ⅱ）當時，函數(shù)有三個不同的零點，證明：：

（Ⅲ）若在區(qū)間上是減函數(shù)，設關于x的方程的兩個非零實數(shù)根為，。試問是否存在實數(shù)m,使得對任意滿足條件的a及t恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）當a=0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，+∞)；

當a>0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(0，a)；

當a<0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(a，0)．

（II）-a<b<a³-a．（III）存在實數(shù)m滿足條件，此時m∈[]．

【解析】

試題分析：（I）求導函數(shù)，對參數(shù)a進行討論，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調區(qū)間；

（II）確定f（x）的極大值為f（0）=a+b，f（x）的極小值為f（a）=a+b-a³，要使f（x）有三個不同的零點，則f(0)＞0，f(a)＜0，從而得證；

（III）先確定|x₁-x₂|= ，并求得其最小值，假設存在實數(shù)m滿足條件，則m²+tm+1≤（ ）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，從而可求m的范圍．

解：（I）∵ ，

當a=0時，≥0，于是在R上單調遞增；

當a>0時，x∈(0，a)，，得在(0，a)上單調遞減；

x∈(-∞，0)∪(a，+∞)，，得在(-∞，0)，(a，+∞)上單調遞增；

當a<0時，，，得在(0，a)上單調遞減；

x∈(-∞，a)∪(0，+∞)，得在(-∞，a)，(0，+∞)上單調遞增．

綜上所述：當a=0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，+∞)；

當a>0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(0，a)；

當a<0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(a，0)．……3分

（II）當a>0時，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函數(shù)，f(x)在(0，a)上是減函數(shù)；則f(x)的極大值為f(0)=a+b，f(x)的極小值為f(a)=a+b-a³．

要使f(x)有三個不同的零點，則   即可得-a<b<a³-a．…8分

（III）由2x³-3ax²+a+b=x³-2ax²+3x+a+b，得x³-ax²-3x=0即x(x²-ax-3)=0，

由題意得x²-ax-3=0有兩非零實數(shù)根x₁，x₂，則x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，

即.∵ f (x)在[1，2]上是減函數(shù)，

∴ ≤0在[1，2]上恒成立，

其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，∴ a≥2．∴ ≥4．

假設存在實數(shù)m滿足條件，則m²+tm+1≤()_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，

∴     解得．

∴ 存在實數(shù)m滿足條件，此時m∈[]．  …………………14分

考點：本題主要考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的極值與最值，考查恒成立問題，綜合性強．

點評：解決該試題的關鍵是利用導數(shù)的正負對于函數(shù)單調性的影響得到函數(shù)單調區(qū)間，進而分析極值問題，以及構造函數(shù)的思想求證函數(shù)的最值，解決恒成立問題的運用。