Question

設直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，已知當直線l經過拋物線的焦點且與x軸垂直時，△OAB的面積為（O為坐標原點）．
（1）求拋物線的方程；
（2）當直線l經過點P（a，0）（a＞0）且與x軸不垂直時，若在x軸上存在點C，使得△ABC為正三角形，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件可得|AB|=2p，O點到AB距離為，
∴=，
∵△OAB的面積為，∴p=1，
∴拋物線的方程為y²=2x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀），
又設C（t，0），直線l的方程為x=my+a（m≠0），代入y²=2x得y²-2my-2a=0．
∴△=4（m²+2a），y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．
所以y₀=m，從而x₀=m²+a．
∵△ABC為正三角形，∴MC⊥AB，|MC|=|AB|．
由MC⊥AB，得，所以t=m²+a+1．
由|MC|=|AB|，得=×，
又∵t=m²+a+1，
∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a），
從而a=．
∵m≠0，∴m²＞0，∴0＜a＜．
∴a的取值范圍為（0，）．
分析：（1）由條件可得|AB|=2p，O點到AB距離為，結合△OAB的面積為，即可求得拋物線的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀），設C（t，0），直線l的方程為x=my+a（m≠0），代入y²=2x，可得y₀=m，從而x₀=m²+a，根據△ABC為正三角形，可得MC⊥AB，|MC|=|AB|，從而可確定a的取值范圍．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，綜合性強．