Question

已知函數f(x)=

1+cosx+cos2x+cos3x

1-cosx-2cos2x

（1）當sinθ-2cosθ=2時，求f（θ）的值；
（2）當k=

f(x)-1

f(x)+2

時，求k的取值范圍．
（3）設函數y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

，x∈(0，

π

6

) ∪(

π

6

，π)，求函數y的最小值．
注：sinθ+sinφ=2sin

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

，cosθ+cosφ=2cos

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的和差化積公式與二倍角的余弦公式，化簡得f（x）=-2cosx．由sinθ-2cosθ=2得

5

sin（θ-β）=2（β是滿足tanβ=2的銳角），再利用兩角和的余弦公式并利用配方法，即可求出f（θ）=2或

6

5

；
（2）化簡得k=

f(x)-1

f(x)+2

=1+

3

2cosx-2

，再利用余弦函數的值域和不等式的性質加以計算，可得k的取值范圍；
（3）化簡函數y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

得y=

sinx

cosx-2

．利用二倍角的三角函數公式和“弦化切”，并利用基本不等式加以計算，即可求出當x=

π

3

時，y的最小值為-

3

3

．

解答：解：∵f(x)=

1+cosx+cos2x+cos3x

1-cosx-2cos2x

=

(1+cos3x)+(cosx+cos2x)

-cosx-cos 2x

=

2(cos 3x 2 •cos 3x 2 )+2(cos 3x 2 •cos x 2 )

-2(cos 3x 2 •cos  x 2 )

=

2cos 3x 2 •(cos 3x 2 +cos x 2 )

-2(cos 3x 2 •cos  x 2 )

=

2cos 3x 2 •2(cosx•cos x 2 )

-2(cos 3x 2 •cos  x 2 )

=-2cosx
（1）∵sinθ-2cosθ=2，∴

5

sin（θ-β）=2，其中β是滿足sinβ=

2

5

，cosβ=

1

5

的銳角
可得sin（θ-β）=

2

5

，cos（θ-β）=±

1

5

∴cosθ=cos[β+（θ-β）]=cosβcos（θ-β）-sinβsin（θ-β）=

1

5

×（±

1

5

）-

2

5

×

2

5

=-1或-

3

5

因此，f（θ）=-2cosθ=2或

6

5

；
（2）k=

f(x)-1

f(x)+2

=

-2cosx-1

-2cosx+2

=1+

3

2cosx-2

∵-1≤cosx＜1，∴-4≤2cosx-2＜0
可得

3

2cosx-2

≤-

3

4

，得k=1+

3

2cosx-2

≤

1

4

，當且僅當cosx=-1時等號成立
∴k=

f(x)-1

f(x)+2

的取值范圍為（-∞，

1

4

]；
（3）y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

=

-2cos( π 2 -x)

-2cosx+4

=

sinx

cosx-2

∵sinx=2sin

x

2

cos

x

2

，cosx=cos²

x

2

-sin²

x

2

，2=2（cos²

x

2

+sin²

x

2

）
∴

sinx

cosx-2

=-

2sin x 2 cos x 2

3sin2 x 2 +cos2 x 2

=-

2

3sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2

∵

3sin x 2

cos x 2

+

cos x 2

sin x 2

≥2

3sin x 2 cos x 2 • cos x 2 sin x 2

=2

3

∴

2

3sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2

≤

2

2 3

=

3

3

，
當且僅當sin

x

2

=

1

2

、cos

x

2

=

3

2

時等號成立．
可得y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

=

sinx

cosx-2

=-

2

3sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2

≥-

3

3

∵x∈(0，

π

6

) ∪(

π

6

，π)，
∴當x=

π

3

時，y的最小值為-

3

3

．

點評：本題著重考查了三角函數的和差化積公式、二倍角的余弦公式、同角三角函數的基本關系與誘導公式和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．