Question

（2011•西城區一模）將1，2，3，…，n這n個數隨機排成一列，得到的一列數a₁，a₂，…，a_n稱為1，2，3，…，n的一個排列；定義τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…|a_n-1-a_n|為排列a₁，a₂，…，a_n的波動強度．
（Ⅰ）當n=3時，寫出排列a₁，a₂，a₃的所有可能情況及所對應的波動強度；
（Ⅱ）當n=10時，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀）的最大值，并指出所對應的一個排列；
（Ⅲ）當n=10時，在一個排列中交換相鄰兩數的位置稱為一次調整，若要求每次調整時波動強度不增加，問對任意排列a₁，a₂，…，a₁₀，是否一定可以經過有限次調整使其波動強度降為9；若可以，給出調整方案，若不可以，請給出反例并加以說明．

Answer 1

分析：（I）當n=3時，列舉出所有的可能為1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．根據所給的公式做出波動強度．
（II）要求的結果轉化為±a₁±a₂±a₂±a₃±…±a₉±a₁₀，在上述18個±中，有9個選正號，9個選負號，其中a₁，a₁₀出現一次，a₂，a₃，…，a₉各出現兩次．使τ（a₁，a₂，…，a₁₀）最大，應使第一個和最大，第二個和最小，得到結果．
（III）可以舉例說明對任意排列a₁，a₂，…，a₁₀，不可以經過有限次調整使其波動強度降為9．

解答：解：（Ⅰ）n=3時，排列a₁，a₂，a₃的所有可能為1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；…（2分）
τ（1，2，3）=2；τ（1，3，2）=3；τ（2，1，3）=3；
τ（2，3，1）=3；τ（3，1，2）=3；τ（3，2，1）=2．…（4分）
（Ⅱ）τ（a₁，a₂，…，a₁₀）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a₉-a₁₀|
上式轉化為±a₁±a₂±a₂±a₃±…±a₉±a₁₀，
在上述18個±中，有9個選正號，9個選負號，其中a₁，a₁₀出現一次，a₂，a₃，…，a₉各出現兩次．…（6分）
所以τ（a₁，a₂，…，a₁₀）可以表示為9個數的和減去9個數的和的形式，
若使τ（a₁，a₂，…，a₁₀）最大，應使第一個和最大，第二個和最小．
所以τ（a₁，a₂，…，a₁₀）最大為：（10+10+9+9+8+8+7+7+6）-（1+1+2+2+3+3+4+4+5）=49．…（8分）
所對應的一個排列為：5，7，1，8，2，9，3，10，4，6．（其他正確的排列同等給分） …（9分）
（Ⅲ）不可以．
例如排列10，9，8，7，1，2，3，4，5，6，除調整1，2外，其它調整都將使波動強度增加，
調整1，2波動強度不變．…（11分）
所以只能將排列10，9，8，7，1，2，3，4，5，6調整為排列10，9，8，7，2，1，3，4，5，6．
對于排列10，9，8，7，2，1，3，4，5，6，仍然是除調整2，1外，其它調整都將使波動強度增加，所以仍只能調整1，2兩個數字．
如此不斷循環下去，不可能經過有限次調整使其波動強度降為9．…（13分）

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是題干比較長，首先要理解題意，看懂題目中所出現的新概念，并且能夠簡單的使用新概念．