Question

某企業準備招聘一批大學生到本單位就業，但在簽約前要對他們的某項專業技能進行測試．在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數多于男生人數），如果從中隨機選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為

8

15

；
（1）求該小組中女生的人數；
（2）假設此項專業技能測試對該小組的學生而言，每個女生通過的概率均為

3

4

，每個男生通過的概率均為

2

3

；現對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試，記這3人中通過測試的人數為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）設出該小組中有n個女生，根據古典概型的概率公式得到比值，等于恰為一男一女的概率，解出關于n的方程．
（2）由題意知ξ的取值為0，1，2，3，集合變量對應的事件，和獨立重復試驗的概率公式，得到變量對應的概率，寫出分布列，求出期望值．

解答：解：（1）設該小組中有n個女生，根據題意，得

C 1 n C 1 10-n

C 2 10

=

8

15

解得n=6，n=4（舍去），
∴該小組中有6個女生；
（2）由題意，ξ的取值為0，1，2，3；
P（ξ=0）=

1

3

×

1

3

×

1

4

=

1

36

P（ξ=1）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

4

+(

1

3

)2×

3

4

=

7

36

P（ξ=3）=(

2

3

)2×

3

4

=

12

36

P（ξ=2）=1-

1

36

-

7

36

-

12

36

=

16

36

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 36	7 36	16 36	12 36

∴Eξ=1×

7

36

+2×

16

36

+3×

12

36

=

25

12

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查獨立重復試驗的概率公式，考查利用概率與統計的知識解決實際問題．