Question

設數列的前項的和，
（Ⅰ）求首項與通項；
（Ⅱ）設，，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）a₁=2，a_n=4ⁿ－2ⁿ, n="1,2,3," …,；（Ⅱ）同解析；

(Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ① 
得 a₁=S₁= a₁－×4+所以a₁=2.
再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…
將①和②相減得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n="2,3," …
整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n="2,3," … ,
因而數列{ a_n+2ⁿ}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,
即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n="1,2,3," …,
因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n="1,2,3," …,
(Ⅱ)將a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得:
S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)
= ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)   
T_n= = × = ×(－ )
所以, = － )
= ×(－ ) <