Question

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程是

x= 2 2 t，  y= 2 2 t+4 2

（t為參數）；以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=2cos(θ+

π

4

)．由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析：把參數方程和極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓和直線相離．由于直線l上的點到圓C的距離最小值為圓心到直線的距離d=5，可得切線的最小值為

d2-r2

，計算求得結果．

解答：解：把直線l的參數方程

x= 2 2 t，  y= 2 2 t+4 2

（t為參數）化為普通方程為 x-y+4

2

．
圓C的極坐標方程為ρ=2cos(θ+

π

4

)，即 ρ²=2ρ•

2

2

cosθ-2ρ•

2

2

sinθ，即 x²+y²=

2

x-

2

y，
即 (x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1，表示以C（

2

2

，-

2

2

）為圓心，半徑等于1的圓．
由于圓心C到直線 x-y+4

2

的距離為d=

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5，故圓和直線相離．
要使切線長最小，只有直線l上的點到圓C的距離最小，此時，直線l上的點到圓C的距離最小值為d=5，
故切線的最小值為

d2-r2

=

25-1

=2

6

．

點評：本題主要考查把參數方程和極坐標方程化為直角坐標方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，屬于中檔題．