Question

已知曲線C₁：y=x²與C₂：y=-（x-2）²．直線l與C₁、C₂都相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：先設出直線方程再由題意分別聯立直線方程和曲線方程，進行消元轉化為一元二次方程，利用判別式為零時方程有一解，求出系數即得直線方程．

解答：解：設直線l的方程為y=kx+b，由直線l與C₁：y=x²相切得，
∴方程x²-kx-b=0有一解，即△=k²-4×（-b）=0    ①
∵直線l與C₂：y=-（x-2）²相切得，方程x²+（k-4）x+b+4=0有一解，
∴△=（k-4）²-4（b+4）=0       ②
聯立①②解得，k₁=0，b₁=0；k₂=4，b₂=-4；
∴直線l的方程為：y=0或4x-y-4=0．

點評：本題考查了直線與曲線相切的定義，既有一個公共點，聯立方程則該方程組有一組解，利用判別式與解的個數之間的關系，求出斜率和截距，考查了轉化思想和計算能力．