Question

若不等式（a-1）x²-（a-1）x-1＜0對一切的x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是

（-3，1]

．

Answer 1

分析：要分別考慮二次項系數為0和不為0兩種情況，當二次項系數為0時，只要驗證是否對一切x∈R成立即可；當二次項系數不為0時，主要用二次函數開口方向和判別式求出a的取值范圍．最后兩種情況下求并集即可．

解答：解：若a-1=0，
則不等式（a-1）x²-（a-1）x-1＜0即-1＜0對一切的x∈R恒成立，
所以a=1可取；
設f（x）=（a-1）x²-（a-1）x-1，
當a-1＜0且△=[-（a-1）]²+4（a-1）＜0，解得：-3＜a＜1．…（9分）
即-3＜a＜1時不等式對一切x∈R恒成立，
故實數a的取值范圍是（-3，1]．…（12分）
故答案為：（-3，1]．

點評：本題主要考查二次函數恒成立問題，考慮二次項系數為0的情況容易忽略，所以也是易錯題．