Question

把一枚骰子投擲兩次，第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b．
（1）記A為“方程組

ax+by=5 x2+y2=1

只有一組解”求A的概率；
（2）設f(x)=ax+

x

x-1

(x＞1)．求事件f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）方程組解的個數即為直線ax+by=5與圓x²+y²=1的交點個數，求出直線與圓交點個數，即可求出所求概率；
（2）f（x）解析式變形后，利用基本不等式化簡，可得出f（x）＞b恒成立轉化為（

a

+1）²＞b恒成立，確定出發生的情況數，即可求出所求概率．

解答：解：（1）依題意知方程組

ax+by=5 x2+y2=1

的解的個數，就是直線ax+by=5與圓x²+y²=1的交點個數，
設圓心O（0，0）到直線ax+by=5的距離為d，則d=

5

a2+b2

，
∵圓的半徑為1，
∴當d=1，即a²+b²=25，直線與圓相切，此時方程組只有一組解；
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴

a=3 b=4

，或

a=4 b=3

時，a²+b²=25，投擲兩次段子a、b的所有情況共有6×6=36種，
則方程組只有一解的概率為P（A）=

2

36

=

1

18

；
（2）∵f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1=a（x-1）+

1

x-1

+1-a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²（其中a＞1＞0），
∴f（x）＞b恒成立轉化為（

a

+1）²＞b恒成立，
∴當a=1時，b=1，2，3；當a=2時，b=1，2，3，4，5；且a≥3時，（

a

+1）²＞6，則b均可取到6個值，
則P（B）=

3+5+4×6

36

=

32

36

=

8

9

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及列舉法計算基本事件及事件發生的概率，弄清題意是解本題的關鍵．