Question

已知a,b,c為實數,且a+b+c+2-2m=0,a²+b²+c²+m-1=0.
(1)求證:a²+b²+c²≥.
(2)求實數m的取值范圍.

Answer 1

(1)見解析   (2) -≤m≤1

(1)由柯西不等式得[a²+(b)²+(c)²](1²+2²+3²)≥(a+b+c)²,
即(a²+b²+c²)×14≥(a+b+c)²,
所以a²+b²+c²≥.
當且僅當|a|=|b|=|c|時取得等號.
(2)由已知得a+b+c=2m-2,
a²+b²+c²=1-m,
所以14(1-m)≥(2m-2)²,
即2m²+3m-5≤0.
所以-≤m≤1.
又因為a²+b²+c²=1-m≥0,
所以m≤1.所以-≤m≤1.