Question

如圖，在底面半徑為3，母線長為5的圓錐中內接一個高為x的圓柱．
（1）求圓錐的體積．
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，先求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求得圓錐的體積V_錐=

1

3

×π×9×4，運算求得結果．
（2）在△PEB中，FN∥BE，利用成比例線段求出FN=3-

3

4

x，代入圓柱的側面積S化簡可得S=-

3π

2

x² +6πx，是一個開口向下，對稱軸為x=2的拋物線，利用二次函數的性質求出它的最大值．

解答：解：（1）如圖所示：∵圓錐的高 PE=

PB2-EB2

=4，
故圓錐的體積V_錐=

1

3

×π×9×4=12π．
（2）在△PEB中，FN∥BE，則

PF

PE

=

FN

EB

，則  

4-x

4

=

FN

3

，解得FN=3-

3

4

x．
圓柱的側面積S=2π×rx=2π  (3-

3

4

x)x=-

3π

2

x² +6πx，
S的圖象是一個開口向下，對稱軸為x=2 的拋物線，且0＜x＜4．
故當x=2時，圓柱的側面積S有最大值為6π．

點評：本題主要考查求圓錐的體積，圓柱的表面積的計算方法，二次函數的性質的應用，屬于中檔題．